Várias são as dúvidas que surgem, sendo uma questão ortográfica muito discutida.

Temos quatro modos de escrever os porquês:

1) POR QUE (em frases interrogativas diretas ou indiretas)

2) POR QUÊ (antes de pausa, e no final frase)

3) PORQUE (conjunção causal explicativa)

4) PORQUÊ (substantivo)

Vamos detalhar mais seus usos:

POR QUE:

a) nas frases interrogativas diretas (seu uso mais básico):

Por que não vamos ao cinema?

b) nas frases interrogativas indiretas:

Gostaria de saber por que não vamos ao cinema?

c) quando puder ser substituído por PELO QUAL e suas variantes (PELA QUAL, PELOS QUAIS, PELAS QUAIS):

Não há por que preocupar-se.

(Não há motivo pelo qual preocupar-se.)

Não sei a razão por que ela não veio.

(Não sei a razão pela qual ela não veio.)

Serão justos os motivos por que aquele homem surtou?

(Serão justos os motivos pelos quais aquele homem surtou?)

Só eu sei as esquinas por que passei.

(Só eu sei as esquinas pelas quais eu passei.)

d) quando puder ser substituído por POR QUAL:

Você sabe por que caminho ela virá?

(Você sabe por qual caminho ela vira?)

e) quando houver a palavra MOTIVO ou RAZÃO antes, depois ou apenas subentendida:

Não sei por que motivo ele não veio.

Não sei por que ele não veio. (por que motivo/por que razão)

POR QUÊ:

a) em final de frase:

Parou por quê?

b) antes de pausa, no meio da frase, quando MOTIVO ou RAZÃO está subentendida:

Eu não sei por quê, mas eles se divorciaram. (por quê motivo/por quê razão)

Quero saber por quê, onde e quando? (por quê motivo/por quê razão)

PORQUE:

a) em respostas de perguntas diretas:

Porque eu precisei.

Ele não foi, porque estava doente.

b) quando equivale a POR CAUSA DE QUE:

Ela estava chorando só porque a criticaram.

(Ela estava chorando por causa de que a criticaram.)

Não fui à aula ontem porque estava chovendo.

(Não fui à aula ontem por causa de que estava chovendo.)

PORQUÊ:

a) quando tem o significado de O MOTIVO, A RAZÃO, sempre acompanhado de artigo, pronome ou numeral:

Quero saber o porquê de seu gesto.

Ninguém entendeu aquele porquê.

A professora quer um porquê para tudo isso.

Então recapitulando:

"Por que" separado

“O ‘por que’ separado sempre pode embutir a palavra ‘razão’ ou a palavra ‘motivo’”

Ex: Por que você não foi trabalhar hoje ?

"Porque" junto

O “porque” junto é uma conjunção que indica causa, motivo, justificativa ou explicação.

Ex: Não fui trabalhar porque estava doente.

"Por quê" separado com acento

O “por quê” separado e com acento é um “por que” separado localizado antes de uma pausa na fala ou na escrita.

Ex: Você não foi trabalhar, por quê ?

"Porquê" junto com acento

Nesse caso, o “porque” vira sinônimo da palavra "motivo".

Ex: Qual o porquê de tanta tristeza.

Fontes:

pingosnosihs.wordpress.com/tag/gramatica/

bbc.com/portuguese/brasil