Mim ou eu - quando usar ?

Usamos o pronome do caso reto (eu, tu, ele (a), nós, vós, eles (as)) quando nos referimos ao sujeito da oração. Já os pronomes oblíquos tônicos (mim, ti, ele (a), nós, vós, eles (as)) fazem papel de objeto e surgem após uma preposição: para mim, de mim, por mim, e assim por diante.

Note que na conjugação de quaisquer verbos usamos os pronomes do caso reto (eu, tu ele,ela, nós, vós eles, elas).

Nós dizemos : eu faço e não mim faço.

Então quando nos referimos ao sujeito usamos pronomes do caso reto.

O novo Ministro da Saúde, Nelson Teich disse em seu discurso: " Existe um alinhamento entre mim e o presidente..."

A frase está correta uma vez que o sujeito da oração é a palavra  presidente.

Você diz: Isso é entre mim e ele; não isso e entre ele e eu. O uso da preposição entre exige que se use um pronome oblíquo.

Portanto se houver preposição + pronome + verbo  o pronome em questão será do caso reto. 

Se houver preposição + pronome, sem o verbo, então, já sabe, caso oblíquo!

Depois das preposições (para, de, por, a) usamos o mim, quando vierem depois do verbo.

Deixa para mim.

Por mim tanto faz!

Não deixarei tirarem isso de mim

Empresta o livro para mim.

Quando, entanto, vier antes do verbo deixa de ser complemento e passa a ser sujeito, nesse caso usamos o "eu"

Isso é para eu fazer

Deixa que eu faço!

Me dê o microfone para eu cantar

Fontes:

mundoeducacao.bol.uol.com.br

guiadoestudante.abril.com.br

recantodasletras.com.br